Kiến trúc toán học của cơ học lượng tử phần lớn dựa vào toán học tuyến tính:

• Hàm sóng và những trạng thái lượng tử khác có thể biểu diễn dưới dạng vector trong không gian Hilbert (tùy tình huống cụ thể cấu trúc không gian Hilbert có thể khác nhau). Ví dụ một electron dưới dạng bra-ket có thể ở trạng thái lượng tử | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } (thật ra mỗi trạng thái lượng tử là một tia vector trong không gian Hilbert c | ψ ⟩ {\displaystyle c|\psi \rangle } với c là bất cứ số phức nào)
• Chồng chập lượng tử có thể biểu diễn dưới dạng tổng các vector thành phần. Ví dụ: | 1 ⟩ + i | 0 ⟩ {\displaystyle |1\rangle +i|0\rangle } là trạng thái chồng chập của | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } và | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle }
• Đo lường cùng với toán tử tuyến tính (gọi là quan sát) trong không gian Hibert với trạng thái lượng tử
• Tính động cũng có thể được miêu tả trong không gian Hilbert bằng toán tử tuyến tính. Như trong bức tranh Schrödinger, có một toán tử tiến hóa thời gian tuyến tính U cho phép một electron trong trạng thái tức thời |ψ⟩, thì trong một giây nó sẽ ở trạng thái U|ψ⟩ với mọi |ψ⟩.
• Chuẩn hóa hàm sóng là việc thu định mức của hàm sóng đó về 1

Hầu như tất cả tính toán trong cơ học lượng tử đều cần dùng đến vector và các toán tử tuyến tính, nó thường sử dụng ký hiệu bra-ket. Ví dụ:

• Hàm sóng tọa độ không spin
• Sự chồng chéo giữa các trạng thái lượng tử: khi một hạt ở một trạng thái chồng chập giữa các trạng thái riêng, mỗi lần được quan sát nó sẽ "sập" về một trạng thái riêng. Trong cơ học lượng tử, biểu diễn ⟨φ|ψ⟩ là xác suất đo lường để ψ sập về φ. Hiểu theo nghĩa toán học, đó là hệ số của phép chiếu vector ψ lên vector cơ sở φ. Nó cũng miêu tả phép chiếu trạng thái ψ lên trạng thái φ.
• Đổi hệ cơ sở của các hạt có spin là 1/2

Một số nhầm lẫn nên tránh

Những nhà vật lý thường hay sử dụng những biểu tượng giống nhau cho cả nhãn và hằng số trong cùng một phương trình. Những hằng số thường đi kèm với những đối tượng đã gán nhãn, Ví dụ: α̂ |α⟩ = α|α⟩ thì biểu tượng α đồng thời là tên toán tử α̂, vector riêng |α⟩ và giá trị riêng α.

Đôi khi việc ký hiệu nhanh tỉ lệ vector cũng dẫn đến hiểu lầm. Ví dụ: vector |α⟩ được nhân lên √2, nó có thể được ký hiệu |α/√2⟩, mặc dù điều này không có ý nghĩa gì vì α chỉ là cái nhãn, không phải hàm cũng chẳng phải số.

Thỉnh thoảng một số nhãn đánh số thì chỉ số lại nằm bên ngoài (đáng lẽ nó phải nằm chung với nhãn trong).